2014年高中第四册数学期末考试卷分析
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一.选择题
1. 函数y=xcosx + sinx 的图象大致为
(A) (B) (C) (D)
2. 抛物线C1：y= x2(p>0)的焦点与双曲线C2： 的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p= ( D )
A. B. C. D.
3. 下面是关于公差 的等差数列 的四个命题，其中正确为( D )
数列 的递增数列; 数列 的递增数列;
数列 的递增数列; 数列 的递增数列;
A. B. C. D.
4. 在 中，内角 ， ， 所对边的长分别为 ， ， ，若 ，且 ，则角 的大小为( A )
A. B. C. D.
5. 使 得展开式中含有常数项的最小的 为( B )
A.4 B.5 C.6 D.7
6. 已知点 ， ， 。若△ 为直角三角形，则必有( C )
A. B.
C. D.
7. 将函数y=sin(2x + )的图像沿x轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图像，则 的一个可能取值为 ( B )
(A) (B) (C)0 (D)
8. 给定两个命题p、q，若﹁p是q的必要而不充分条件，则p是﹁q的 ( B )
(A)充分而不必条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
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(A)243 (B)252 (C)261 (D)279
10. 设O为坐标原点，F1，F2是双曲线 - =1(a>0，b>0)的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1¬P F2=60°， = a，则该双曲线的渐近线方程为( D )
(A)x± y=0 (B) x±y=0
(C) x± y=0 (D) x±y=0
二.填空题
11. 已知向量 与 的夹角为 ，且 若 且 ,则实数 的值为 【答案】
12. 定义“正对数”： ，现有四个命题：
①若 ，则 ; ②若 ，则
③若 ，则 ; ④若 ，则
其中的真命题有： (写出所有真命题的编号) 【答案】①③④
13. 抛物线 在 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 (包含三角形内部和边界) .若点 是区域 内的任意一点，则 的取值范围是 .【答案】[—2，12 ]
14. 在平面直角坐标系 中，设定点 ， 是函数 ( )图象上一动点，
若点 之间的最短距离为 ，则满足条件的实数 的所有值为 .【答案】1或
15. 已知 的定义域为R的偶函数，当 时， ，那么，不等式 的解集是_________________
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16. (本小题满分12分)已知 ， .
(1)若 ，求证： ;
(2)设 ，若 ，求 的值.
解：(1)a-b=(cosα-cosβ，sinα-sinβ)，
|a-b|2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=2-2(cosα•cosβ+sinα•sinβ)=2，
所以，cosα•cosβ+sinα•sinβ=0，
所以， .
(2) ，①2+②2得：cos(α-β)=-12 .
所以，α-β= ，α= +β，
带入②得：sin( +β)+sinβ= cosβ+12 sinβ=sin( +β)=1，
所以， +β= .
所以，α= ，β= .
17. (本小题满分12分)
如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ，过 作 ，垂足为 ，点 分别是棱 的中点.求证：
(1)平面 平面 ;
(2) .
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所以F为SB的中点.
又E，G分别为SA，SC的中点，
所以，EF∥AB，EG∥AC.
又AB∩AC=A，AB 面SBC，AC 面ABC，
所以，平面 平面 .
(2)因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=BC，
AF 平面ASB，AF⊥SB.
所以，AF⊥平面SBC.
又BC 平面SBC，
所以，AF⊥BC.
又AB⊥BC，AF∩AB=A，
所以，BC⊥平面SAB.
又SA 平面SAB，
所以， .
18. (本小题满分12分)
设 是首项为 ，公差为 的等差数列 ， 是其前 项和.记 ，
，其中 为实数.
(1)若 ，且 成等比数列，证明： ( );
(2)若 是等差数列，证明： .
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当 成等比数列， ，
即： ，得： ，又 ，故 .
由此： ， ， .
故： ( ).
(2) ，
. (※)
若 是等差数列，则 型.
观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，
故有： ，即 ，而 ≠0，
故 .
经检验，当 时 是等差数列.
19. (本小题满分12分)
设函数 ， ，其中 为实数.
(1)若 在 上是单调减函数，且 在 上有最小值，求 的取值范围;
(2)若 在 上是单调增函数，试求 的零点个数，并证明你的结论.
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故： ≥1.
，
若1≤ ≤e，则 ≥0在 上恒成立，
此时， 在 上是单调增函数，无最小值，不合;
若 >e，则 在 上是单调减函数，在 上是单调增函数， ，满足.
故 的取值范围为： >e.
(2) ≥0在 上恒成立，则 ≤ex，
故： ≤1e .
.
(ⅰ)若0< ≤1e ，令 >0得增区间为(0，1a );
令 <0得减区间为(1a ，﹢∞).
当x→0时，f(x)→﹣∞;当x→﹢∞时，f(x)→﹣∞;
当x=1a 时，f(1a )=﹣lna-1≥0，当且仅当 =1e 时取等号.
故：当 =1e 时，f(x)有1个零点;当0< <1e 时，f(x)有2个零点.
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(ⅲ)若a<0，则 在 上恒成立，
即： 在 上是单调增函数，
当x→0时，f(x)→﹣∞;当x→﹢∞时，f(x)→﹢∞.
此时，f(x)有1个零点.
综上所述：当 =1e 或a<0时，f(x)有1个零点;当0< <1e 时，f(x)有2个零点.
20. 现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答.
(I)求张同学至少取到1道乙类题的概率;
(II)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是 ，答对每道乙类题的概率都是 ，且各题答对与否相互独立.用 表示张同学答对题的个数，求 的分布列和数学期望.
21. 已知m是非零实数，抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F在直线l：x-my- =0上.
(Ⅰ)若m=2，求抛物线C的方程;
(Ⅱ)设直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的准线的垂线，垂足为A1，B1，△AA1F，△BB1F的重心分别为G，H.求证：对任意非零实数m，抛物线C的准线与
x轴的交点在以线段GH为直径的圆外.
常梦网的编辑为大家带来的2014年高中第四册数学期末考试卷分析，希望能为大家提供帮助。